Thèse Relation Entre Tqfts de Kerler-Lyubashenko et Tqfts d'Écheveaux H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Montpellier École doctorale : I2S - Information, Structures, Systèmes Laboratoire de recherche : IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck Direction de la thèse : Stéphane BASEILHAC ORCID 0009000691634763 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59 Les TQFTs (théories quantiques des champs topologiques) sont des outils très sophistiqués pour étudier la topologie en basse dimension [At88]. Leur origine physique continue d'inspirer les conjectures les plus profondes du domaine, et leur connexion avec d'autres disciplines comme l'algèbre, la théorie des représentations, la géométrie et la dynamique constitue une vraie richesse du sujet.

La topologie quantique a déjà montré sa capacité de détecter les phénomènes subtils exotiques qui rendent la dimension 4 si spéciale, surtout grâce aux constructions dérivées de l'homologie de Khovanov [HS21,RW24]. Des questions ouvertes importantes concernent spécifiquement les corps en 2-anses de dimension 4, comme la conjecture de Gompf, qui est intimement liée à la conjecture de Andrews-Curtis en théorie combinatoire des groupes [Go91]. Les TQFTs inspirées de la construction de Kerler et Lyubashenko [BD21] constituent les meilleurs outils dont on dispose pour étudier ce type de problèmes. Récemment, d'autres familles de TQFTs ont été construites à partir de modules d'écheveaux [CGPV23,CGHP23]. Les phénomènes que l'on peut observer dans les deux théories sont remarquablement similaires. Par exemple, les deux constructions sont basées sur les mêmes ingrédients algébriques, les catégories enrubannées unimodulaires, et, dans les deux approches, les TQFTs issues des catégories factorisables dépendent uniquement du bord des variétés de dimension 4. Le but de ce projet est de dévoiler une relation entre les deux constructions, avec l'objectif d'améliorer notre compréhension de ces outils. La théorie des variétés de dimension n, et les techniques qui permettent de l'étudier et de la comprendre, dépendent crucialement de la dimension n. Pour 0n3, la topologie est largement gouvernée par la géométrie, notamment grâce au théorème de géométrisation de Thurston en dimension 3, qui a été montré par Perelman. En revanche, pour n5, la chirurgie se révèle être un outil très efficace pour comprendre les variétés lisses, grâce au théorème du h-cobordisme de Smale, qui repose sur une manoeuvre cruciale appelée « Whitney trick ».

Ce qui rend unique la dimension 4, c'est qu'elle échappe aux deux régimes. D'une part, elle est suffisamment haute pour permettre un bestiaire de variétés extrêmement riche, si large, en fait, qu'une classification complète résulte être impossible. D'autre part, elle simultanément trop basse pour que le techniques puissantes dont on dispose en haute dimension, comme le Whitney trick, puissent marcher. Cela est illustré par plusieurs phénomènes spécifiques à la dimension 4 : par exemple, le nombre de structures lisses non-équivalentes dont on peut munir R^n pour n4 est 1, alors que R^4 admet une infinité non dénombrable de copies exotiques, c'est-à-dire de variétés qui lui sont homéomorphes, mais pas difféomorphes.

Parmi les variétés lisses de dimension 4, les corps en 2-anses jouent un rôle centrale. En général, un corps en k-anses de dimension n est une variété lisse de dimension n construite à l'aide d'un nombre fini de i-anses de dimension n pour 0ik. Ce qui rend les corps en 2-anses de dimension 4 intéressants en soi, c'est qu'ils constituent précisément la classe des variétés lisses de dimension 4 qui peuvent être visualisées et représentées à l'aide de diagrammes de Kirby. En effet, même si on ne s'intéresse qu'aux variétés lisses fermées de dimension 4, afin de les manipuler, on ne considère généralement que des corps en 2-anses de dimension 4 et on invoque le théorème de Laudenbach-Poénaru pour affirmer qu'il existe au plus une seule façon d'attacher des 3-anses et des 4-anses pour remplir le bord.

Si l'on tient trace des décompositions en anses, il existe d'autres relations d'équivalence sur la classe des corps en 2-anses de dimension 4 au-delà de l'équivalence d'homotopie, de l'homéomorphisme et du difféomorphisme. Une relation naturelle, engendrée par une classe spécifique de difféomorphismes appelés 2-déformations, est appelée 2-équivalence. Une k-déformation est un difféomorphisme entre des corps en k-anses réalisé par une suite finie d'opérations élémentaires sur les applications d'attachement d'anses qui n'introduisent jamais des i-anses pour i>k. En d'autres termes, on peut relier une paire de corps en 2-anses de dimension 4 2-équivalents par des mouvements d'anses sans jamais sortir de la classe des corps en 2-anses de dimension 4. Non seulement cette relation d'équivalence est naturelle dans le contexte des corps en 2-anses de dimension 4, mais elle émerge aussi spontanément dans le contexte des invariants quantiques. En effet, une TQFT pour les corps en 2-anses de dimension 4 à 2-déformations près a été construite dans [BD21] à partir d'une catégorie enrubannée unimodulaire C. Lorsqu'on considère la catégorie C = H-mod des représentations d'une algèbre de Hopf enrubannée unimodulaire H, cette TQFT n'est à priori invariante sous des difféomorphismes arbitraires que si H^* est semi-simple. Étant donné que les exemples les plus intéressants d'algèbres de Hopf enrubannées unimodulaires ne sont généralement pas semi-simples, et que les catégories enrubannées semi-simples sont généralement inutiles lorsqu'il s'agit de détecter de l'exoticité en dimension 4 [Re20], cela signifie que, en principe, les invariants quantiques sont mieux adaptés à l'étude de la 2-équivalence que du difféomorphisme. Il convient de noter qu'on ne sait pas encore si les difféomorphismes et les 2-déformations déterminent des relations d'équivalence différentes. En effet, cette question sous-tend une conjecture de Gompf, qui a prédit qu'une famille explicite de corps en 2-anses de dimension 4 difféomorphes à D^4 ne pouvait être simplifiée en diagramme de Kirby vide par aucune 2-déformation [Go91]. De plus, cette question peut être comprise comme un analogue en dimension 4 de la conjecture d'Andrews-Curtis, et réfuter cette dernière prouverait que la 2-équivalence est différente du difféomorphisme. Ces deux questions restent largement ouvertes à l'heure actuelle.
Etablir des relations entre deux familles de TQFTs, dans la perspective de découvrir de nouvelles propriétés de détection par ces TQFT de phénomènes en dimension 4.

Maîtrise des contenus scientifiques d'un parcours de niveau équivalent au Master Mathématiques Fondamentales de l'Université de Montpellier, notamment en ce qui concerne les cours de topologie et d'algèbre.