Thèse Intensité d'Interaction Algébrique H/F - 34

Établissement : Université de Montpellier
École doctorale : I2S - Information, Structures, Systèmes
Laboratoire de recherche : IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck
Direction de la thèse : Daniel MASSART ORCID 0000000257810413
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59

On considère une surface fermée $M$, c'est à dire une variété différentiable de dimension 2, compacte, sans bord. On suppose de plus
$M$ orientée, c'est à dire qu'on peut y définir la gauche et la droite. On peut alors calculer l'intersection algébrique de deux courbes
fermées $\alpha$ et $\beta$ tracées sur $M$ : on compte simplement les points d'intersection de $\alpha$ et $\beta$, avec un signe $+$ si
au point considéré $\alpha$ traverse $\beta$ de la gauche vers la droite, et un signe $-$, sinon. Le premier fait remarquable de cette
théorie est que l'intersection définit une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée, notée $\mbox{Int}(.,.)$ sur le premier groupe
d'homologie de $M$. A partir de maintenant nous supposons que la surface $M$ est munie d'une métrique riemannienne $g$.
La question que nous nous posons est la suivante : imaginons qu'étant données deux courbes fermées $\alpha$ et $\beta$ tracées sur
$M$, on gagne 1 franc pour chaque intersection avec un signe +, on perd un franc pour chaque intersection avec un signe $-$, et comme
il faut bien payer l'essence, on dépense 1 centime par mètre parcouru sur $\alpha$, par mètre parcouru sur $\beta$. On se demande alors
si l'affaire est rentable. En d'autres termes, on cherche à évaluer la quantité
\[
K(M,g)= \sup\_{\alpha,\beta}\frac{\mbox{Int}(\alpha,\beta)}{l(\alpha)l(\beta)}.
\]
L'affaire est rentable si $K(M,g) >0$. Il est clair que c'est le cas car en échangeant si besoin est les places de $\alpha$ et $\beta$ on peut
obtenir
$\mbox{Int}(\alpha,\beta)>0$. Ensuite on peut se demander si $K(M,g) < +\infty$, autrement dit, s'il y a une rentabilité maximale théorique.
On peut voir que c'est le cas, en interprétant $K(M,g)$ comme la norme de la forme bilinéaire $\mbox{Int}(.,.)$, relativement à une norme
sur l'homologie de $M$, qui mesure en quelque sorte la longueur d'une classe d'homologie pour la métrique $g$.
Dans l'article [Massart-Muetzel '14] on étudie le comportement de $K(M,g)$, vu comme fonction sur l'espace des modules des surfaces
hyperboliques de genre fixé. L'article [Massart-Muetzel '14] se concentre sur le comportement à l'infini dans l'espace des modules, et
montre en particulier que $K(M,g)$ n'a pas de maximum sur l'espace des modules. Un but, parmi d'autres, de la présente thèse est de
rechercher l'éventuel minimum de $K(M,g)$, dans la classe conforme de Bolza, la plus symétrique en genre 2.

La quantité KVol a déjà fait l'objet de deux thèses co-dirigées par l'auteur de cette proposition (Smail Cheboui, Julien Boulanger), ainsi que
de récents travaux de Julien Boulanger, et d'une équipe chinoise (Pan Huiping & Jiang Manman). Une élève de C. McMullen, Tina
Torkaman, a récemment fait une thèse sur une quantité voisine.