Thèse Conception de Schémas Numériques Haute-Performance pour la Simulation de Réponse Électrique d'Un Sous-Sol Fracturé H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Montpellier École doctorale : I2S - Information, Structures, Systèmes Laboratoire de recherche : IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck Direction de la thèse : Jérôme DRONIOU ORCID 0000000233393053 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-05-04T23:59:59 Les méthodes polytopales d'ordre arbitraire forment une méthodologie relativement récente, qui permet de concevoir des approximations numériques de modèles physiques complexes sur des maillages formés de polygones/polyhèdres généraux et avec une autre précision. Leurs principes s'inspirent des méthodes éléments finis historiques, mais en adoptant une approche haut niveau qui amène à des réductions notables de coût de calcul, en particulier grâce aux caractéristiques suivantes: (i) élimination de la nécessité de construire des fonctions de base explicites (ce qui réduit, à précision égale, le nombre de degré de liberté et donc la taille des systèmes considérés), (ii) gestion de maillages généraux (ce qui permet une représentation de domaines à géométrie complexe avec moins de mailles, et donc moins de degrés de liberté), (iii) application de techniques systématiques pour réduire davantage la taille des systèmes globaux (sérendipité, condensation statique, etc.). Les méthodes polytopales ont déjà démontré leur capacité, sur des modèles complexes, de surpasser les méthodes éléments finis usuelles par des réductions notables en coût/temps de calcul [Di Pietro et al, 2022; Touzalin, 2025].

L'objectif de cette thèse est d'explorer l'application des méthodes polytopales à la simulation (directe et inverse) de tomographie de résistivité électrique 3D, en milieu hautement fracturé. Il s'agit de concevoir un schéma efficace qui exploite les propriétés de méthodes polytopales pour pouvoir effectuer de nombreuses simulations à coût réduit, sur des sous-sols avec multiples formes de réseaux de fracture. Nous partirons d'une méthode éprouvée (Hybrid High-Order (HHO)) qui a déjà été utilisée pour l'analyse d'écoulements en milieux fracturés, et l'adapterons aux équations représentant la réponse électrique d'un sous-sol à une série d'impulsions - processus usuel de récupération de données en tomographie. L'algorithme devra être conçu pour exploiter cette forme d'impulsions distribuées, et en particulier éviter de re-calculer des quantités communes à toutes les simulations. Pour économiser en temps de calcul, un travail devra être fait sur le maillage du sous-sol, pour à la fois représenter ses fractures mais aussi éviter de sur-mailler des régions non-fracturées. Pour ceci nous exploiterons GMesh [Geuzaine et al., 2009], un mailleur 3D open-source qui va très bientôt inclure un support pour des mailles polyhédriques; GMesh est déjà utilisé dans des contextes industriels et a montré sa robustesse dans de nombreuses géométries très complexes.

Les résultats attendus sont: (i) une méthode numérique efficace et peu chère pour la simulation directe des modèles 3D tomographie de résistivité électrique, (ii) un implémentation efficace via un mailleur performant et des libraries dédiées aux méthodes polytopales, (iii) l'application de cette méthode à des problèmes inverses.

Références:
Di Pietro, D. A. and Droniou, J. (2022). A discrete de Rham method for the Reissner-Mindlin plate bending problem on polygonal meshes. Comput. Math. Appl., 125:136-149.
Touzalin, A. (2025). Méthode des éléments virtuels pour la discrétisation des équations intégrales de frontière en électromagnétisme dans le domaine fréquentiel. PhD Thesis, CEA-CESTA.
Geuzaine C. and Remacle, J.-F. (2009). Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities, International Journal for Numerical Methods in
Engineering 79.11, pp. 1309-1331. doi: https://doi.org/10.1002/nme.2579.
Collaboration entre IMAG et Géosciences

Connaissance théorique et pratique de méthodes numériques (éléments finis, méthodes polytopales), expertise en C++.